Chapitre 15 - Produit scalaire dans l'espace

Déterminer si un vecteur est normal à un plan
ROC : Caractériser les points d'un plan par une relation $ax+by+cz=0$
Déterminer une équation cartésienne d'un plan connaissant un point et un vecteur normal
Déterminr un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne
ROC : Démontrer qu'une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan
Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et forme paramétrique pour déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et forme paramétrique pour étudier la position relative de deux plans

Les vecteurs sont un outil important dans le plan comme dans l'espace. Le produit scalaire aussi. Il permet d'aborder de manière calculatoire l'orthogonalité entre droites, entre plans et entre plan et droite. Il est également à la base de l'équation cartésienne du plan dans l'espace (comme pour les droite dans le plan).

IProduit scalaire dans l'espace

Nous avons vu dans le chapitre

Géométrie Vectorielle

que deux vecteurs sont coplanaires. En se plaçant dans le plan contenant deux vecteurs de l'espace, on peut y définir leur produit scalaire de la même manière que dans un plan.

De même que dans le plan, le produit scalaire entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace est le nombre réel : $$ \vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2) $$

Si $\alpha$ est l'angle géométrique $\widehat (\vec{u}, \vec{v})$, alors : $$ \vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| cos (\alpha) $$

Dans un repère orthornormé, soit $\vec{u} =\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ et $\vec{v} =\left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)$ : $$ \vec{u}.\vec{v} = x x' + y y ' + z z' $$

Démonstration

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Concrètement, la définition du produit scalaire est la moins utilisée. En général, la formule basée sur les coordonnées est la plus utile. Elle permet notamment de déterminer l'angle entre deux vecteurs en permettant de trouver son cosinus par la seconde propriété.

Les règles de calcul suivantes sont fonctionnent aussi dans l'espace :

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ trois vecteurs et $a,b$ deux réels :

$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
$\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$
$(a\vec{u}).(b\vec{v}) = (ab)(\vec{u}.\vec{v})$

IIOrthogonalité - vecteur normal

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On se donne quatre points $A,B,C,D$ tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{CD}$.

On dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

Soient $\vec{u} =\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ et $\vec{v} =\left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)$ deux vecteurs :

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}.\vec{v}=0$

En pratique, pour déterminer que ces deux vecteur sont ortogonaux, on vérifie que $x x ' + y y' + z z' = 0$

Soient $\mathcal{P}$ un plan, $A \in \mathcal{P}$ un point et $B \notin \mathcal{P}$ un point.

Le vecteur $\vec{n} = \vec{AB}$ est normal au un plan $\mathcal{P}$ si $(AB)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$.

La notion de vecteur normal à un plan est centrale car elle permet de définir de manière unique un plan :

Soit $\vec{n}$ un vecteur non nul et $A$ un point de l'espace : par $A$ passe un unique plan normal à $\vec{n}$

Cette propriété fondamentale se traduit à l'aide d'un produit scalaire :

Le plan $\mathcal{P}$ qui passe par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que : $$ \vec{AM}.\vec{n} = 0 $$

IIIEquation cartésienne du plan

Le théorème précédent permet de définir une équation cartésienne d'un plan de l'espace :

Dans un repère orthornormé, on se donne $\vec{n} = \left (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)$

Un plan de vecteur normal $\vec{n}$ admet une équation cartésienne de la forme $a x + b y + c z + d = 0$ où $d \in \mathbb{R}$
Réciproquement, si $a, b, c$ non tous nuls, l'ensemble des points $M (x,y,z)$ tels que $a x + b y + c z + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}$

Démonstration exigible

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Les applications suivantes sont possibles :

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal
Déterminer un vecteur normal à partir de l'équation cartésienne
Déterminer l'équation d'un plan à partir de 3 de ses points
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Déterminer un vecteur normal à un plan

Déterminer un vecteur normal du plan d'équation cartésienne $x-y+5z+1=0$

Correction

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$\vec{n} = \left (\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right)$

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal et un point

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A (-1,2,1)$ et de vecteur normal $\vec{n} = \left (\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right)$

Correction

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On sait déjà qu'une équation cartésienne sera de la forme : $$ 3 x - 3 y + z + d = 0 $$ Reste à déterminer $d$. Or on sait que $A \in \mathcal{P}$, donc : $$ \begin{array}{lll} 3 x_A - 3 y_A + z_A + d &=& 0 \\ 3 \times (-1) - 3 \times 2 + z_A + d &=& 0 \\ -3 -6 + 1 + d &=& 0 \\ d &=& 8 \\ \end{array} $$ On en conclue l'équation cartésienne : $$ (\mathcal{P}) : 3 x - 3 y + z + 8 = 0 $$

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir de 3 points

Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $A (1,-2,4)$, $B (-2,-6,5)$ et $C (-4,0,-3)$.

Correction

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On calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ : $$ \vec{AB} = \left (\begin{array}{c} -2-1 \\ -6+2 \\ 5-4 \end{array} \right)= \left (\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right) $$ $$ \vec{AC} = \left (\begin{array}{c} -4-1 \\ 0+2 \\ -3-4 \end{array} \right)= \left (\begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ -7 \end{array} \right) $$

On vérifie tout de même que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.

On cherche un vecteur $\vec{n}= \left (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)$ normal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, c'est à dire tel que  et $\vec{AC}.\vec{n} = 0$ : $$ \begin{array}{lllllll} \left\{\begin{array}{c} \vec{AB}.\vec{n} = 0 \\ \vec{AC}.\vec{n} = 0 \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} -3 a - 4 b + c = 0 \\ -5 a + 2 b - 7c = 0 \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} -13 a + -13 c = 0 \\ -5 a + 2 b - 7c = 0 \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} a = -c \\ b = c \end{array}\right. \end{array} $$ Donc $\vec{n} = \left (\begin{array}{c} -c \\ c \\ c \end{array} \right)$. Il est normal qu'il y ait plusieurs choix pour $c$ car tous les vecteurs normaux sont colinéaires. On choisit donc : $$ \vec{n} = \left (\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) $$ Finalement, en appliquant les méthodes précédentes, on obtient l'équation cartésienne suivante : $$ \mathcal{P} : -x + y + z - 1 = 0 $$

Soient deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ de vecteurs normaux respectifs $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ :

Les plans sont parallèles si et seulement si $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires.
Les plans sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{n}.\vec{n}' = 0$

Déterminer l'intersection de deux plans

Soient deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ayant pour équations respectives $-x+2y+z-5=0$ et $2x-y+3z-1=0$.

Démontrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants.
Déterminer une équation paramétrique de leur droite d'intersection $(d)$

Correction

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On se donne deux vecteurs normaux de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ : $$ \vec{n} = \left (\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) $$ $$ \vec{n'} = \left (\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) $$ $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ ne sont pas colinéaires donc $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ se coupent en la droite $(d)$.

Pour déterminer une équation paramétrique, on résoud le système formé des deux équations cartésienne et on choisit par exemple $x$ comme paramètre en posant $x=t$ : $$ \begin{array}{lllllll} \left\{\begin{array}{ccc} -x+2y+z-5 &=& 0 \\ 2x-y+3z-1 &=& 0 \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{ccc} 2y+z &=& 5+x \\ y+3z &=& 1-2x \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} 7z &=& -3x + 7 \\ y &=& 3 z + 2x + 1 \end{array}\right. & \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} z &=& \frac{-3x}{7} + 1 \\ y &=& \frac{-9x}{7} + 3 + 2 x -1 = \frac{5x}{7} + 2 \end{array}\right. \end{array} $$ Donc finalement, en posant x=t, on obtient l'équation paramétrique : $$ (d): \left\{ \begin{array}{lll} x&=&t\\ y &=& \frac{5t}{7} + 2 \\ z&=& \frac{-3t}{7} + 1 \end{array} \right. $$ On peut "améliorer" le résultat en posant $x = 7t$ : $$ (d): \left\{ \begin{array}{lll} x&=&7t\\ y &=& 5t + 2 \\ z&=& -3t + 1 \end{array} \right. $$

Démonter que deux plans sont perpendiculaires

Soient deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ayant pour équations respectives $2x+4y+4z-3=0$ et $2x-5y+4z-1=0$. Démontrer que les plans sont perpendiculaires

Correction

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On se donne deux vecteurs normaux de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ : $$ \vec{n} = \left (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right) $$ $$ \vec{n'} = \left (\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 4 \end{array} \right) $$ On calcule leur produit scalaire : $$ \vec{n}.\vec{n'} = 2\times 2 + 4 \times -5 + 4 \times 4 = 4 - 20 + 16 = 0 $$ Donc les plans sont perpendiculaires.